Grundsätzlich ist es so, dass, wie Du ja schon festgestellt hast, es eine Kündigungsfrist gibt. Bis zum Ablauf des Mietvertrages, also bis zu dem Datum an dem der Mietvertrag endet, hast Du die Pflicht den Mietzins (Miete) zu bezahlen. Natürlich hast Du aber auch das Recht bis zum Mietende die Räumlichkeiten zu nutzen.
Auch wenn Du einen Nachmieter gefunden hast, also jemanden der als Nachmieter einspringen möchte, so muss der Vermieter diesen nicht akzeptieren. Grundsätzlich ist es die freie Entscheidung des Vermieters an wen dieser vermietet. Regeln wie "Es müssen drei Nachmieter vorgeschlagen werden und man ist raus aus der Sache" gibt es nicht. Wenn der Vermieter also bis zum regulären Mietzeitende keinen Nachmieter gefunden hat (dieser muss aber auch nicht wirklich danach suchen), musst Du leider bis zum Ende die Miete begleichen.
Was aber nicht geht ist, dass der Vermieter die Räume an jemanden anderen Vermietet (also an einen Nachmieter) und von Dir den Mietzins verlangt. Sobald der Vermieter mit Deinem Einverständnis die Räume an jemanden anderen Vermietet ist der mit Dir geschlossene Mietvertrag beendet.
Lass Dich hier also nicht veräppeln. Gerne versuchen Vermieter hier "abzuzocken" und die Miete doppelt zu kassieren, was aber rechtlich nicht zulässig ist. Entweder Du bist der Mieter und zahlst die Miete oder jemand anderes ist der Mieter und der hat die Miete zu zahlen.
Bitte beachte: Das ganze ist meine persönliche, rechtliche Auffassung zu dem Thema, welche ich anhand der von Dir gelieferten Informationen schreibe. Es handelt sich hier keinesfalls um eine rechtlich verbindliche oder korrekte Aussage und kann nicht mit einer Rechtsberatung gleichgestellt werden. Nur dafür zugelassene Personen (z.B. Rechtsanwälte) dürfen eine Rechtsberatung durchführen. Wenn Du eine rechtlich bindende Aussage dazu haben möchtest, gehe bitte zu einem Rechtsanwalt und lasse Dich von diesem Beraten. Für das Erstgespräch wird im Regelfall eine Pauschale erhoben, welche meistens unterhalb von 100 Euro liegt und einem das Leben deutlich erleichtern kann.